Tre corridori che arrivano primo, secondo e terzo è una domanda diversa da tre corridori che entrano in finale. Entrambe partono dallo stesso insieme e ne prendono altrettanti, ma una conta gli ordinamenti e l’altra i gruppi, e la prima risposta è sempre più grande, esattamente del numero di modi in cui i prescelti si possono rimescolare tra loro. Questa pagina mostra entrambe insieme, così la scelta si vede invece di essere data per scontata.

In tre passaggi

1. 1 Inserisci n: quante cose ci sono tra cui scegliere.
2. 2 Inserisci r: quante ne prendi.
3. 3 Leggi la riga che risponde alla tua domanda: l’ordine conta, oppure no.

L’unica domanda che decide la formula

Chiediti se scambiare due degli elementi scelti produce un esito diverso. Oro e argento scambiati sono un risultato diverso, quindi i posti sul podio sono permutazioni. Due numeri del lotto scambiati sono la stessa schedina, quindi le estrazioni sono combinazioni. Tutto il resto discende da questo unico test, e sbagliarlo è l’errore più comune in questo angolo della matematica: di solito nel senso di contare ogni gruppo più volte.

Perché questi numeri diventano enormi così in fretta

Le permutazioni crescono più in fretta di quasi ogni altra cosa nell’aritmetica ordinaria. Dieci oggetti hanno 3.628.800 ordinamenti; quindici ne hanno più di mille miliardi. Questa crescita spiega perché un lucchetto a quattro rotelle sembri sicuro e perché mescolare un mazzo di carte produca con affidabilità una disposizione che nessuno ha mai visto. Spiega anche perché le risposte esatte smettano presto di essere possibili su uno schermo, e lo strumento lo dice invece di stampare cifre di cui non può rispondere.