Che cosa mi dice il vertice?

È il punto più alto o più basso della curva, proprio ciò che serve quando la domanda riguarda un massimo o un minimo: altezza massima di una palla lanciata, prezzo che massimizza il profitto, materiale minimo per un dato volume. L’asse di simmetria è la verticale che ci passa, e le due radici stanno a uguale distanza dai due lati.

Perché a volte ottengo una sola radice?

Quando il discriminante è esattamente zero, le due radici cadono nello stesso punto: c’è un valore invece di due. È una radice doppia, e lì la parabola tocca l’asse invece di attraversarlo. Gli insegnanti spesso chiedono di scriverla due volte; il numero resta lo stesso.

Scompone anche in fattori l’equazione?

Non come passaggio separato, ma le radici te lo danno subito: se sono p e q, l’equazione si scompone in a(x − p)(x − q). Con radici 2 e 1 e a uguale a 1, viene (x − 2)(x − 1). Quando le radici sono decimali scomodi, la lettura onesta è che l’espressione non si scompone bene sugli interi.

E se metto zero come a?

L’equazione smette di essere di secondo grado e diventa una retta; lo strumento lo dice e risolve il caso lineare. Non è un cavillo: la formula standard divide per 2a, quindi con a uguale a zero dividerebbe per zero e produrrebbe assurdità. Nominare il caso è più utile di un trattino.

Risolutore di equazioni di secondo grado - radici, discriminante, vertice

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Risolutore di equazioni di secondo grado

x² + x + = 0

Radici —

Discriminante —

Vertice —

Asse di simmetria —

Leggere un’equazione di secondo grado

Ogni equazione di secondo grado disegna una parabola, e risolverla significa trovare dove quella curva incontra l’asse x. A volte lo attraversa due volte, a volte lo sfiora soltanto, a volte non lo tocca affatto. Il discriminante dice quale dei tre casi hai prima ancora di calcolare una radice.

In tre passaggi

1 Riordina l’equazione così che tutto stia da una parte e finisca con = 0. Solo allora a, b e c significano ciò che la formula si aspetta.
2 Digita i tre coefficienti. Un termine mancante vale zero: in x² − 4 = 0, b = 0.
3 Guarda prima il discriminante: positivo significa due radici, zero una, negativo radici complesse.

Che cosa decide il discriminante

Il discriminante è b² − 4ac, la parte sotto la radice nella formula. Un valore negativo significherebbe estrarre la radice di un numero negativo, che non ha risposta reale: è esattamente il caso in cui la parabola non tocca l’asse. Il segno racconta tutto, quindi conviene leggerlo prima delle radici.

Anche le radici complesse sono risposte

Quando il discriminante è negativo, questo risolutore scrive la coppia come a ± bi invece di mostrare un trattino. Dire «nessuna soluzione» sarebbe falso: l’equazione ha due soluzioni, semplicemente non stanno sulla retta dei reali. In elettronica e nel trattamento dei segnali quelle radici sono la parte utile della risposta, non un fallimento.

Equazioni di secondo grado - domande frequenti

Prima porta tutto da una parte. Da 2x² = 5x − 3 sottrai il membro di destra e ottieni 2x² − 5x + 3 = 0, quindi a = 2, b = −5 e c = 3. Il riordino fa parte della risoluzione, e farlo da soli è ciò che tiene giusti i segni.

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