Calcolo matriciale - somma, prodotto, trasposta, determinante, inversa
Operazioni tra matrici
A
B
Una griglia di numeri che fa qualcosa
Una matrice sembra una tabella di numeri e si comporta come un’istruzione. Moltiplica un punto per essa e il punto si sposta: ruotato, allungato, inclinato o appiattito. Ecco perché le matrici spuntano ovunque molte cose cambino insieme - grafica, statistica, ingegneria, apprendimento automatico - ed ecco perché le operazioni qui hanno questa forma. Sommare combina due istruzioni; moltiplicare le esegue una dopo l’altra.
In tre passaggi
- 1 Imposta la dimensione di ogni matrice, poi riempi le celle.
- 2 Scegli l’operazione. Quelle che non si applicano alle tue dimensioni te lo dicono invece di tirare a indovinare.
- 3 Leggi la griglia del risultato. Un determinante restituisce un solo numero, non una matrice.
Perché A × B non è B × A
La moltiplicazione tra matrici è composizione: A × B significa fare prima B, poi A. L’ordine conta per lo stesso motivo per cui conta nel mondo fisico - girare un libro e poi capovolgerlo non finisce dove finisce capovolgerlo e poi girarlo. Lo strumento conserva quell’ordine fedelmente, ed è per questo che scambiare A e B di solito cambia la risposta e a volte rende il prodotto del tutto impossibile.
Cosa ti sta dicendo il determinante
Il determinante misura di quanto una matrice scala l’area o il volume, e il suo segno dice se l’orientamento si ribalta. Un determinante di 3 triplica le aree; uno di -1 conserva la dimensione ma specchia tutto. Un determinante zero significa che la trasformazione schiaccia lo spazio in qualcosa di più sottile - un piano su una retta, una retta su un punto - e si perde informazione: proprio per questo non esiste un’inversa che la riporti indietro.